自動フェイルオーバーされたとき、何かログが残って、アラート検知のようなメールを受けることができますか。

Amazon SNSによりフェイルオーバー時に通知を受けることが出来ます。こちらをご参照ください。
https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/AmazonRDS/latest/UserGuide/USER_Events.html